Objetivos Gerais:

1 - O objetivo principal desta unidade curricular é aprofundar a matéria do Cálculo básico para o nível mais elevado adicionando a introdução das duas disciplinas: Equações Diferenciais e Análise Complexa. Para atingir este objetivo, a teoria das Series também é lecionada devido do impacto nas ambas as disciplinas adicionadas. Portanto, os outros objetivos consequentes são:
2 - Estudar as bases da teoria das Séries, com as correspondentes aplicações a problemas concretos encontrados nas várias áreas de Engenharia.
3 - Estudar os fundamentos da teoria das Equações Diferenciais incluindo as aplicações teóricas que possibilitam adquirir as competências da investigação e comunicação científica em diferentes áreas de Engenharia em geral.
4 - Comparar e compreender a extensão dos resultados do Cálculo de Variável Real ao Cálculo de Variável Complexa, estudando da forma detalhada os conceitos de limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade no espaço complexo.

Conteúdos / Programa:

1 - Sucessões e séries numéricas 1.1 Sucessões: definições e teoremas para o cálculo de limites 1.2 Séries: conceitos básicos de séries em engenharia. Série geométrica 1.3 Critério geral de convergência 1.4 Séries de termos não negativos: critérios de convergência 1.5 Série harmónica de ordem p ou série de Dirichlet. 1.6 Séries de módulos: critérios de Cauchy e de d'Alembert 1.7 Séries alternadas: critério de Leibnitz
2 - Séries de funções 2.1 Séries de potências 2.2 Raio e intervalo de convergência 2.3 Representação de funções como séries de potências 2.4 Derivação e primitivação de séries de potências 2.5 Aproximação polinomial das funções. Fórmula de Taylor 2.6 Séries de Taylor e de MacLaurin
3 - Modelação de fenómenos físicos com equações diferenciais 3.1 Definição e classificação de equações diferenciais 3.2 Equações diretamente integráveis 3.3 Resolução das equações via integral indefinido 3.4 Resolução das equações via integral definido
4 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 4.1 Equação diferencial para função exponencial 4.2 Solução geral e problema do valor inicial (PVI) 4.3 Equações diferenciais de variáveis separáveis 4.4 Interpretação geométrica de uma equação diferencial 4.5 Equações diferenciais homogéneas
5 - Equações diferenciais exatas (EDE) 5.1 Definições 5.2 Fator integrante 5.3 Problema de valor inicial 5.4 Resolução de EDE via integral definido 5.5 Aplicações de EDE a funções reais de duas variáveis
6 - Equações diferenciais lineares de 1a ordem 6.1 Classificação das equações diferenciais ordinárias (EDO) 6.2 Método da separação de variáveis para equações homogéneas 6.3 Problema do valor inicial para EDO não homogénea 6.4 Método do fator integrante para equações não homogéneas 6.5 Método da variação dos parâmetros para equações não homogéneas 6.6 Equações diferenciais com funções seccionalmente contínuas
7 - Equações diferenciais lineares de 2a ordem 7.1 Álgebra dos números complexos 7.2 Equações homogéneas com coeficientes constantes 7.3 O Wronskiano e o teorema de Abel 7.4 Equações não homogéneas: método dos coeficientes indeterminados
8 - Sistemas de equações diferenciais de 1a ordem 8.1 Noção geral do sistema de equações diferenciais 8.2 Transformação de uma ED num sistema de EDs de 1a ordem 8.3 Transformação de um sistema de EDs de 1a ordem numa ED 8.4 Revisão das matrizes, valores próprios e vetores próprios 8.5 Sistemas de equações homogéneos com coeficientes constantes 8.6 Valores próprios complexos e repetidos 8.7 Sistemas de equações lineares de 1a ordem não homogéneos
9 - Conceito de equações diferenciais parciais 9.1 Noção geral de equações diferenciais parciais (EDP) 9.2 Solução de uma EDP de 1a ordem de coeficientes constantes 9.3 Solução de uma EDP de 2a ordem linear de coeficientes constantes 9.4 Equações envolvendo apenas derivadas parciais de 2a ordem 9.5 Método da separação de variáveis. Princípio da sobreposição.
10 - Números complexos 10.1 Álgebra fundamental dos números complexos (NC) 10.2 Representação geométrica de NC. Coordenadas polares 10.3 Fórmula de Euler 10.4 Forma exponencial de NC 10.5 Produtos e potências em forma exponencial 10.6 Argumentos de produtos e quocientes 10.7 Raízes de NC
11 - Considerações especificas dos NC em engenharia 11.1 Fórmula inversa de Euler. Fórmula de De Moivre 11.2 Função de argumento complexo 11.3 Função logarítmica
12 - Introdução à análise complexa 12.1 Limites e continuidade 12.2 Funções diferenciáveis, analíticas e inteiras 12.3 Equações de Cauchy-Riemann 12.4 Função harmónica
13 - Integração no plano complexo 13.1 Parametrização de curvas 13.2 Cálculo de integrais de linha 13.3 Teorema de potências 13.4 Teorema de Cauchy 13.5 Regiões simplesmente conexas 13.6 Fórmulas integrais de Cauchy
14 - Séries, singularidades e resíduos no plano complexo 14.1 Séries de Taylor e de MacLaurin 14.2 Séries de potências elementares 14.3 Raio de convergência e operações com séries de potência 14.4 Séries de Laurent e singularidades 14.5 Teorema dos resíduos e suas aplicações

Bibliografia / Fontes de Informação:

Boyce W.E., DiPrima R.C., Meade D.B., , 2017 , Boyce's Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Global Edition , John Wiley & Sons
Zill D.G., , 2013 , A First Course in Differential Equations: With Modeling Applications, 10th ed., , Brooks/Cole, USA: Cengage Learning
Nagle R.K., Saff E.B., Snider A.D., , 2011 , Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, 6th ed., , Pearson Addison Wesley,
Simmons G.F., , 2017. , Differential Equations with Applications and Historical Notes, 3rd ed., , USA: CRC Press
Howell K.B., , 2020 , Ordinary Differential Equations: An Introduction to the Fundamentals, 2nd ed., , USA: CRC Press,
Brown J.W., Churchill R.V., , 2014 , Complex Variables and Applications, 9th ed., , McGraw-Hill
Ablowitz M.J., Fokas, A.S., , 2021 , Introduction to Complex Variables and Applications , Cambridge University Press
Stewart J , 2016 , Calculus: Early Transcendentals, 8th ed , Brooks/Cole: Cengage Learning

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
As aulas são teóricas e teórico-práticas. Para a matéria teórica usa-se uma metodologia expositiva acompanhada com problemas que interligam as ferramentas desenvolvidas com conceitos estudados em unidades curriculares da especialidade. Nas aulas teórico-práticas usa-se exposição oral e escrita dos conteúdos programáticos da unidade curricular onde os alunos são incentivados a aplicar e consolidar os seus conhecimentos teóricos resolvendo os exercícios propostos. A combinação das aulas teóricas e teórico-práticas justifica-se para uma rigorosa e completa cobertura dos tópicos do programa, os quais surgem como resposta a situações e problemas práticos de Engenharia para maior motivação do aluno e melhor compreensão dos conceitos e resultados. A resolução de exercícios em contexto de aula permite ilustrar a aplicação prática dos conceitos e ferramentas estudadas, ao mesmo tempo que se aprofundam os conhecimentos teóricos. A avaliação é feita mediante a realização de duas frequências (com peso de 50% cada) a resolver individualmente durante a época normal. Desta forma, o aluno pode, ao longo do semestre, avaliar mais eficientemente o seu desempenho. Contudo a componente de avaliação teórica/teórico-prática, avaliada na Época Normal mediante duas frequências, é recuperável nas Épocas de Recurso e Especial via o Exame Global que abrange a totalidade da matéria. Não obstante, cada docente responsável pela lecionação e avaliação poderá definir um método alternativo de avaliação, desde que este respeite integralmente o Regulamento de Avaliação da Aprendizagem dos Estudantes da Universidade da Madeira que se encontra em vigor.