Objetivos Gerais:

1 - Os alunos que concluírem esta unidade curricular com sucesso, devem ser capazes de: Dominar as propriedades fundamentais das funções reais de várias variáveis.
2 - Reconhecer os conceitos estudados como generalização das noções correspondentes às funções reais de uma única variável.
3 - Compreender os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade de campos escalares e vetoriais e sua aplicação às áreas especificas da Engenharia.
4 - Calcular integrais múltiplos, identificando a representação geométrica do domínio e reconhecendo quais as coordenadas a utilizar.
5 - Dominar a parametrização de linhas e superfícies, e utilizá-la no cálculo de integrais.

Conteúdos / Programa:

1 - Espaços vetoriais euclidianos 1.1 Vetores em sistema de coordenadas cartesianas. 1.2 Produto escalar. Ortogonalidade. 1.3 Equações vetoriais de retas e planos. 1.4 Problemas de distância. 1.5 Produto vetorial. Áreas. 1.6 Coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
2 - Funções vetoriais e equações paramétricas 2.1 Curvas definidas por equações paramétricas. 2.2 Cálculo de funções com valores vetoriais. 2.3 Vetores unitários (tangente e normal) para as curvas paramétricas. 2.4 Comprimento de arco.
3 - Funções reais de várias variáveis 3.1 Definições e gráficos das funções. Domínio. 3.2 Curvas e superfícies de nível. 3.3 Noção de limite e continuidade. 3.4 Topologia: conjuntos abertos e fechados.
4 - Derivadas parciais e diferenciabilidade 4.1 Derivadas parciais: significado geométrico. 4.2 Derivadas parciais de ordem superior. Teorema de Schwarz. 4.3 Condição suficiente para diferenciabilidade. 4.4 Plano tangente e reta normal aos gráficos de funções. 4.5 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis. 4.6 Fórmula de Taylor para funções de duas variáveis. 4.7 Conceito de diferenciabilidade: aproximação pelo diferencial total. 4.8 Conceito de diferenciabilidade: aproximação pelo plano tangente.
5 - Gradiente e suas aplicações 5.1 Conceito de diferenciabilidade: definição e cálculo do vetor-gradiente. 5.2 Derivadas direcionais. 5.3 Taxas de variação máxima e mínima de funções. 5.4 Gradiente: curvas de nível. Conceito de campo-gradiente. 5.5 Regra da cadeia. Curvas paramétricas. 5.6 Diferenciação implícita. 5.7 Reta tangente e reta normal a uma curva de nível.
6 - Integrais múltiplos 6.1 Integral duplo. Teorema de Fubini. 6.2 Integrais impróprios. 6.3 Integrais duplos sobre regiões genéricas. 6.4 Integrais duplos em coordenadas polares. 6.5 Integrais triplos. 6.6 Mudança de variáveis em integrais múltiplos.
7 - Campos vetoriais 7.1 Definição do campo vetorial. 7.2 Modelos físicos e matemáticos de campos vetoriais. 7.3 Campo vetorial conservativo e função potencial. 7.4 Relação entre campo vetorial e gradiente. 7.5 Formas diferenciais fechadas e exatas. 7.6 Introdução ao integral de linha e ao Teorema de Green. 7.7 Ponto singular: região não-simplesmente conexa.
8 - Integrais de linha 8.1 Integral de linha de uma função escalar. 8.2 Integral de linha de um campo vetorial. 8.3 Integração ao longo de caminhos retangulares e circulares. 8.4 Interpretação dos resultados de integrais de linha. 8.5 Integrais de linha sobre gráficos de funções.
9 - Campos vetoriais conservativos. Integrais independentes do caminho. 9.1 Teorema fundamental dos integrais de linha. 9.2 Determinação da função potencial: método de diferenças da função. 9.3 Equivalências associadas ao conceito do campo vetorial conservativo. 9.4 Critério principal para campo vetorial conservativo.
10 - Teorema de Green 10.1 Condições de validade. 10.2 Aplicações: trabalho de uma força; cálculo de áreas planas. 10.3 Extensão do teorema de Green. 10.4 Singularidade pontual: cálculo específico dos integrais de linha.
11 - Integrais de superfície 11.1 Parametrizações de superfícies. 11.2 Área de superfície. 11.3 Superfícies implícitas. 11.4 Definição do integral de superfície. 11.5 Formas de se calcular um integral de superfície. 11.6 Definição de uma superfície orientável. Integral de fluxo.
12 - Teoremas vetoriais clássicos 12.1 Operadores tridimensionais: gradiente, rotacional e divergente. 12.2 Propriedades dos operadores. Equação de Laplace e função harmónica. 12.3 Teorema da divergência de Gauss no plano. Integral de fluxo. 12.4 Teorema de Stokes no plano. Integral de circulação. 12.5 Teorema da divergência de Gauss no espaço 12.6 Teorema de Stokes no espaço.

Bibliografia / Fontes de Informação:

Stewart J. , 2016 , Calculus: Early Transcendentals, 8th ed , Brooks/Cole: Cengage Learning
Anton H., Bivens Irl C., Davis S., , 2012 , Calculus, 10th ed. , Wiley
Thomas G.B. Jr., Weir, M.D., Hass J., , 2014 , Thomas' calculus: Early Transcendentals, 13th ed., , Pearson
Hughes-Hallett D., Gleason A.M., McCallum W.G., , 2012 , Calculus: Single and Multivariable, 6th ed , Wiley
Larson R., Edwards B.H. , 2010 , Calculus, 9th ed , Brooks/Cole: Cengage Learning
Salas S.L, Hille E., Etgen G , 2007 , Calculus: One and Several variables, 10th ed , Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons Inc

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
As aulas são teórico-práticas. Para a matéria lecionada usa-se uma metodologia expositiva, exemplificando, quase sempre, com problemas que interligam as ferramentas desenvolvidas com conceitos estudados em unidades curriculares da especialidade. Os alunos são incentivados a aplicar e consolidar os seus conhecimentos resolvendo os exercícios propostos. Exposição oral e escrita dos conteúdos programáticos da unidade curricular está desenvolvida procurando melhorias nas explicações estendidas de fórmulas analíticas provenientes dos teoremas, maior detalhamento nos argumentos, distribuição adequada dos assuntos abordados e a separação de temas em seções próprias. A avaliação é feita mediante a realização de duas frequências (com peso de 50% cada) a resolver individualmente durante a época normal. Desta forma, o aluno pode, ao longo do semestre, avaliar mais eficientemente o seu desempenho. Contudo a componente de avaliação teórico-prática, avaliada na Época Normal mediante duas frequências, é recuperável nas Épocas de Recurso e Especial via o Exame Global que abrange a totalidade da matéria. Não obstante, cada docente responsável pela lecionação e avaliação poderá definir um método alternativo de avaliação, desde que este respeite integralmente o Regulamento de Avaliação da Aprendizagem dos Estudantes da Universidade da Madeira que se encontra em vigor.