Disciplina: Geometria Diferencial

Área Científica:

Matemática

HORAS CONTACTO:

80 Horas

NÚMERO DE ECTS:

7,5 ECTS

IDIOMA:

Português

Objetivos Gerais:

1 - Desenvolver competências que permitam, em particular, identificar curvas e superfícies regulares mergulhadas num espaço euclidiano, assim como calcular a curvatura e a torsão de uma curva regular e também a curvatura de Gauss e a curvatura média de uma superfície de Monge.
2 - Reconhecer as variedades abstratas e o fibrado tangente como o "lugar natural" para o cálculo diferencial. Desenvolver a capacidade de usar cartas para estudar as propriedades locais das variedades e das aplicações diferenciáveis.
3 - Conhecer os aspetos mais elementares da geometria riemanniana.

Conteúdos / Programa:

1 - Variedades Diferenciáveis. Conjuntos parametrizáveis e as suas estruturas tangentes fundamentais (campos de tensores). Aplicações entre conjuntos parametrizáveis. Análise dos casos clássicos: Curvas e superfícies mergulhadas num espaço vetorial. Variedades diferenciáveis: mapas, atlas, estruturas tangentes.
2 - Problemas de Classificação - os casos clássicos das ações de certos grupos (de Lie) de transformações afins (SO(p,q), SL(E)): Curvas (Parametrização de uma curva pelo comprimento de arco. Curvaturas. Referencial móvel). Superfícies imergidas no espaço tridimensional (curvaturas).
3 - Geometria Riemanniana. Métrica; Transporte paralelo; Tensores Fundamentais.

Bibliografia / Fontes de Informação:

M. do Carmo , Differential Geometry of Curves And Surfaces , Prentice Hall
M. Berger, B. Gostiaux , Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces , Springer
B. O'Neil , Elementary Differential Geometry , Academic Press
Jean-Pierre Serre , Lie algebras and Lie groups , Springer

Métodos e Critérios de Avaliação:

Tipo de Classificação: Quantitativa (0-20)

Metodologia de Avaliação:
As aulas teóricas são expositivas, sendo apresentados exemplos para facilitar a apreensão dos conceitos e servirem de motivação aos alunos. É fornecida aos alunos uma lista de problemas e exercícios que eles deverão tentar resolver fora da sala de aula. Nas aulas teórico-práticas são discutidos e resolvidos estes problemas para colmatar eventuais dificuldades que os alunos possam ter. São realizadas 2 frequências. A primeira frequência sobre os conteúdos de C1, a segunda frequência sobre o conteúdo C2 e C3. Cada frequência vale 50% da nota final.